Question

13．已知函数f（x）=2sinx+a+3的图象过原点．
（1）求a的值和f（x）的值域；
（2）设ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]是增函数，求ω的取值范围；
（3）设|θ|＜$\frac{π}{2}$，若对x取一切实数，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=2sinx+a+3的图象过原点，即f（0）=a+3=0，求出a的值，再根据-1≤sinx≤1，求出函数的值域；
（2）通过ω＞0，求出y=f（ωx）的单调增区间，利用函数在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]是增函数数，列出ω的不等式组，即可求ω的取值范围；
（3）利用第一问中函数解析式对不等式等价转化，利用二次函数的性质求得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sinx+a+3的图象过原点，
∴f（0）=a+3=0，解得a=-3，
∴f（x）=2sinx，
∵-1≤sinx≤1，
∴-2≤f（x）≤2，
故函数f（x）的值域为[-2，2]；
（2）y=f（ωx）=2sin（ωx），
根据正弦函数的单调性：2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得f（x）的单增区间为[-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]
又由已知f（x）的单增区间为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
所以有[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]?[-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2ω}≤-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2ω}≤\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$ 解得$\frac{3}{4}$≤ω≤1．
所以ω的取值范围是[$\frac{3}{4}$，1]．
（2）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）
即4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，当|θ|＜$\frac{π}{2}$时恒成立，
即4-2（cos2x-cos2θ）＞4sinx，
整理得cos2θ＞-2sin²x+2sinx-1，
∵f（x）=-2sin²x+2sinx-1=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$
当sinx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$，f（x）_max=-$\frac{1}{2}$，
∴要使不等式成立需cos2θ＞-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{2}{3}π$≤2θ≤$\frac{2}{3}$π，
∴-$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{π}{3}$，
故θ的取值范围[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，二倍角的三角函数以及两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性的应用三角函数图象与性质，二次函数性质的应用，考查了学生转化与化归思想的运用，属于中档题．