Question

2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（-2，0），离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点A，过O作l的平行线交椭圆C于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线l相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的焦点在x轴上，a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过设直线l的方程，利用以PQ为直径的圆与直线l相切，即$\frac{1}{2}$|PQ|与原点O到直线l的距离相等，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在x轴上，
∵a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²=$\frac{4}{3}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）依题意，直线l的斜率显然存在且不为0，设l的斜率为k，
则可设直线l的方程为：y=k（x+2），
则原点O到直线l的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+3k²）x²=4，
可得P（$\frac{2}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$），Q（-$\frac{2}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$），
∵以PQ为直径的圆与直线l相切，
∴$\frac{1}{2}$|PQ|=d，即|OP|=d，
∴（$\frac{2}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$）²+（$\frac{2k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$）²=（$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²，
解得：k=±1，
∴直线l的方程为x-y+2=0或x+y+2=0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．