Question

12．已知各项均为正数的无穷数列{a_n}满足a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t为常数）．
（1）设{a_n}是首项为1的等差数列，当t=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n+t}是等比数列，求t的值；
（3）若a₂=a₁+t，求证：数列{a_n}为等差数列．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的性质得出1+2d）=（1+d）²-1，d²=1，即d=1．分类求解即可得出通项公式．
（2）根据数列{a_n+t}是等比数列的定义得出：（a_n+1+t）²=（a_n+t）（a_n+2+t），化简即可得出：t²+2ta_n+1=t（a_n+a_n+2），恒成立，即可求解t的值．
（3）先求解a₂=a₁+t，a₃=a₁+2t，a₄=a₁+3t，猜想得出a_n=a₁+（n-1）t，代入a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t为常数）．证明等式成立，再运用等差数列定义证明即可．

解答 解：（1）∵a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t为常数）．
∴a₁=1，t=1，a₁×a₃=a₂²-1，各项均为正数的无穷数列{a_n}
（1+2d）=（1+d）²-1，d²=1，即d=1．
当d=1时，a_n=n，
（2）∵数列{a_n+t}是等比数列，
∴（a_n+1+t）²=（a_n+t）（a_n+2+t），
展开得出：a²_n+1+2ta_n+1+t²=a_na_n+2+t（a_n+a_n+2）+t²，
∵a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t为常数）．a²_n+1=a_na_n+2+t²，
∴代入得出：t²+2ta_n+1=t（a_n+a_n+2），
t=0或t+2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴若数列{a_n+t}是等比数列，实数t=0．
（3）∵a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t为常数）．
∴a₁a₃=a₂²-t²，
∵a₂=a₁+t，
∴a₃=a₁+2t，
∵a₂a₄=a₃²-t²，
解得：a₄=a₁+3t，
猜想：a_n=a₁+（n-1）t，
即可得出：a_n+1=a₁+nt，a_n+2=a₁+（n+1）t，
∵a_na_n+2=[a₁+（n-1）t][a₁+（n+1）t]=a${\;}_{1}^{2}$+2na₁t+（n²-1）t²，
a_n+1²-t²=[a₁+nt]²-t²=a${\;}_{1}^{2}$+2na₁t+（n²-1）t²，
∴a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t为常数）成立，符合题意．
∴a_n=a₁+（n-1）t，
∵a_n+1-a_n=a₁+nt-[a₁+（n-1）t]=t=常数．
∴数列{a_n}为公差为t的等差数列．

点评 本题数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，准确灵活运用递推关系式，猜想等思想求解证明，运算量大，属于难题．