Question

1．在锐角△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，已知sin（A-B）=cosC．
（1）若a=3$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{10}$，求c边长；
（2）若$\frac{acosC-ccosA}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求角A、C．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用诱导公式化简，整理求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出c的值即可；
（2）已知等式左边利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出A的度数，进而确定出C的度数．

解答 解：（1）由sin（A-B）=cosC可得sin（A-B）=sin（$\frac{π}{2}$-C），
∵△ABC是锐角三角形，
∴A-B=$\frac{π}{2}$-C，即A-B+C=$\frac{π}{2}$，
∵A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{4}$，
又∵b²=a²+c²-2accosB，
∴a=3$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{10}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c²-6c+8=0，
∴c=2或c=4，
当c=2时，b²+c²-a²=-4＜0，
∴A为钝角，与已知矛盾；
∴c≠2，
∴c=4；
（2）∵B=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{3π}{4}$-A，
$\frac{acosC-ccosA}{b}$=$\frac{sinAcosC-sinCcosA}{sinB}$=$\sqrt{2}$sin（A-C）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{3π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2A-$\frac{3π}{4}$∈（-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴2A-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{6}$，∴A=$\frac{11π}{24}$，
∴C=$\frac{3π}{4}$-$\frac{11π}{24}$=$\frac{7π}{24}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．