Question

9．某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：

M	900	700	300	100
y	0.5	3.5	6.5	9.5

哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：

M	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
频数	3	6	12	6	3

（1）设x=$\frac{M}{100}$，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；
（参考公式：$\hat y=\hat bx+\hat a$；其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\overline a=\overline y-\hat b\overline x$）
（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．

Answer 1

分析 （1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程；
（2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（9+7+3+1）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，
则$\widehat{b}$=$\frac{9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5-4×5×5}{{9}^{2}+{7}^{2}+{3}^{2}+1-4×{5}^{2}}$=-1.05，
$\widehat{a}$=5-（-1.05）×5=10.25，
故$\widehat{y}=-1.05x+10.25$．
（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为$\frac{3}{30}$=0.1，
AQI指数在200至400的频率为$\frac{6}{30}$=0.2，
AQI指数大于400的频率为0.7．
设每月的收入为X，则X的分布列为

X	-2000	4000	7000
P	0.1	0.2	0.7

则X的数学期望为E（X）=-2000×0.1+4000×0.2+7000×0.7=5500，
即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．

点评 本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．