Question

19．设常数a＞1，实数x，y满足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，若y的最大值为$\sqrt{2}$，则x的值为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 实数x，y满足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，化为log_ax+$\frac{2}{lo{g}_{a}x}$+$\frac{lo{g}_{a}y}{lo{g}_{a}x}$=-3，令log_ax=t，化为：log_ay=$-（t+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，再利用二次函数的单调性、对数的运算性质即可得出．

解答 解：实数x，y满足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，
化为log_ax+$\frac{2}{lo{g}_{a}x}$+$\frac{lo{g}_{a}y}{lo{g}_{a}x}$=-3，
令log_ax=t，
化为：log_ay=$-（t+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，
∵a＞1，∴当t=-$\frac{3}{2}$时，y取得最大值$\sqrt{2}$，
∴$lo{g}_{a}\sqrt{2}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=4．
∴log₄x=-$\frac{3}{2}$，
∴x=${4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．