Question

7．如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个交点为T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），F（1，0）为椭圆C₂的右焦点．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）设M（x₀，y₀）是抛物线C₁上任意一点，过M作抛物线C₁的切线l，直线l与椭圆C₂，交于A、B两点，定点N（0，$\frac{2}{3}$），求△NBA的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点T的坐标代入抛物线方程求解p，则抛物线方程可求；由椭圆定义求得2a，结合已知与隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出切点M坐标，利用导数求出过点M的切线方程，和椭圆方程利用，由弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得N到直线AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值得答案．

解答 解：（1）∵点T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）在抛物线C₁上，∴$（\frac{4}{3}）^{2}=2p•\frac{1}{3}$，即p=$\frac{8}{3}$，则抛物线方程为${x}^{2}=\frac{16}{3}y$；
又∵点T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）在椭圆C₂上，∴$2a=\sqrt{（\frac{4}{3}+1）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}+\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$2\sqrt{2}$，$a=\sqrt{2}$．
又∵c=1，∴$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
则椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由${x}^{2}=\frac{16}{3}y$，得$y=\frac{3}{16}{x}^{2}$，∴y′=$\frac{3}{8}x$，
设直线l的斜率为k，则$k={y}^{′}{|}_{x={x}_{0}}=\frac{3}{8}{x}_{0}$，
∴直线l的方程为$y-{y}_{0}=\frac{3}{8}{x}_{0}（x-{x}_{0}）$，整理得：$3{x}_{0}x-8y-3{{x}_{0}}^{2}+8{y}_{0}=0$，
又∵M在抛物线上，∴${{x}_{0}}^{2}=\frac{16}{3}{y}_{0}$，
∴直线l的方程为：3x₀x-8y-8y₀=0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{3{x}_{0}x-8y-8{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，得$（18{{x}_{0}}^{2}+64）{x}^{2}-96{x}_{0}{y}_{0}x+128{{y}_{0}}^{2}-128=0$  ①，
△=$（-96{x}_{0}{y}_{0}）^{2}-4（18{{x}_{0}}^{2}+64）（128{{y}_{0}}^{2}-128）$=$16×64（9{{x}_{0}}^{2}-32{{y}_{0}}^{2}+32）＞0$，
∴$9{{x}_{0}}^{2}-32{{y}_{0}}^{2}+32＞0$  ②，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂ 是方程①的两个解，由根与系数的关系得：
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{96{x}_{0}{y}_{0}}{18{{x}_{0}}^{2}+64}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{128{{y}_{0}}^{2}-128}{18{{x}_{0}}^{2}+64}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{9}{64}{{x}_{0}}^{2}}•\sqrt{（\frac{96{x}_{0}{y}_{0}}{18{{x}_{0}}^{2}+64}）^{2}-4•\frac{128{{y}_{0}}^{2}-128}{18{{x}_{0}}^{2}+64}}$=$\frac{2\sqrt{4+3{y}_{0}}\sqrt{3{y}_{0}-2{{y}_{0}}^{2}+2}}{3{y}_{0}+2}$．
设N到直线l的距离为d，则d=$\frac{|-8×\frac{2}{3}-8{y}_{0}|}{\sqrt{9{{x}_{0}}^{2}+64}}$=$\frac{2}{3}•\frac{3{y}_{0}+2}{\sqrt{3{y}_{0}+4}}$．
∴${S}_{△ABN}=\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{3{y}_{0}+4}\sqrt{3{y}_{0}-2{{y}_{0}}^{2}+2}}{3{y}_{0}+2}$$•\frac{2}{3}•\frac{3{y}_{0}+2}{\sqrt{3{y}_{0}+4}}$=$\frac{2}{3}•\sqrt{-2{{y}_{0}}^{2}+3{y}_{0}+2}$．
∴当${y}_{0}=\frac{3}{4}$时，S_△ABN有最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{6}$，此时x₀=-2．
∴M点的坐标为（-2，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．