Question

12．对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$，定义$\overrightarrow a*\overrightarrow b=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{\overrightarrow b•\overrightarrow b}$；若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$|{\overrightarrow a}|＞|{\overrightarrow b}|＞0$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow a*\overrightarrow b，\overrightarrow b*\overrightarrow a$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，则$\overrightarrow a*\overrightarrow b$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{a}$﹡$\overrightarrow{b}$=$\frac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ}{|b{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}cosθ$=$\frac{n}{2}$，n∈z，$\overrightarrow{b}﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}，m∈z$再由$co{s}^{2}θ=\frac{nm}{4}∈（\frac{1}{2}，1）$ 故 n=3，m=1 从而求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}﹡\overrightarrow{b}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}}=\frac{|\overrightarrow{a}\overrightarrow{||b}|cosθ}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{|b}|}cosθ$=$\frac{n}{2}$，n∈z，
同理可得：$\overrightarrow{b}﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}，\\;\\;m∈z$．  m∈z．
再由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），知$co{s}^{2}θ=\frac{nm}{4}∈（\frac{1}{2}，1）$，故mn=3，m，n∈z．
∵$|\overrightarrow{a}|＞|\overrightarrow{b}|＞0$
∴$0＜\overrightarrow{b}﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}＜1$
∴m=1，n=3
∴$\overrightarrow{a}﹡\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$
故答案为B．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得 m=1，n=3，是解题的关键，属于中档题．