Question

1．甲、乙两人进行五局三胜制羽毛球比赛，除第五局两人获胜的机会相等，其余各局甲获胜的概率都是$\frac{2}{3}$，记X为比赛的局数，每局比赛结果相互独立．
（1）试求甲3：0获胜的概率；
（2）求X的分布列及数学期望值E（X）．

Answer 1

分析 （1）根据甲3：0获胜，可判断前3局甲胜，连打3局即可，运用概率公式求解即可．
（2）判断随机变量的值，X=3，4，5，分甲胜，或乙胜，运用概率乘法公式求解即可．列出分布列，求解数学期望．

解答 解：（1）∵甲3：0获胜，
∴前3局甲胜，乙输，
甲3：0获胜的概率为P₁=（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$；
（2）X为比赛的局数，每局比赛结果相互独立．
则X=3，4，5，分甲胜，或乙胜，
P（X=3）=$\frac{8}{27}$+（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{9}{27}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{27}$$+\frac{2}{27}$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{3}$）²[$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$]=$\frac{8}{27}$

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（X）=3×$\frac{1}{3}$$+4×\frac{10}{27}$$+5×\frac{8}{27}$=3

点评 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题