Question

6．已知函数f（x）的导函数f′（x）=x²+2ax+b（ab≠0），且f（0）=0．设曲线y=f（x）在原点处的切线l₁的斜率为k₁，过原点的另一条切线l₂的斜率为k₂．
（1）若k₁：k₂=4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k₂=tk₁时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1-2t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数，求出k₁=f'（0）=b，设l₂与曲线y=f（x）的切点为（x₀，y₀）（x₀≠0），利用斜率相等推出b=-3a²，化简f'（x）=x²+2ax-3a²=（x+3a）（x-a），通过①当a＞0时，②当a＜0时，分别求解单调区间．
（2）由（1）若k₂=tk₁，利用f（x）无极值，$△=4{a^2}-\frac{{3{a^2}}}{1-t}≤0$，求出t的范围，利用f（b）＜f（1-2t），推出3a²＜4（1-t）（1-2t），然后求解a的范围．

解答 解：（1）由已知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx$，k₁=f'（0）=b，设l₂与曲线y=f（x）的切点为（x₀，y₀）（x₀≠0）
则$x_0^2+2a{x_0}+b=\frac{y_0}{x_0}=\frac{1}{3}x_0^2+a{x_0}+b$所以 $\frac{2}{3}x_0^2+a{x_0}=0$，即${x_0}=-\frac{3}{2}a$，
则${k_2}=f'（-\frac{3}{2}a）=\frac{9}{4}{a^2}-3{a^2}+b=-\frac{3}{4}{a^2}+b$．
又4k₂=5k₁，所以-3a²+4b=5b，即b=-3a²
因此f'（x）=x²+2ax-3a²=（x+3a）（x-a）
①当a＞0时，f（x）的增区间为（-∞，-3a）和（a，+∞），减区间为（-3a，a）．
②当a＜0时，f（x）的增区间为（-∞，a）和（-3a，+∞），减区间为（a，-3a）．…（5分）
（2）由（1）若k₂=tk₁，则$-\frac{3}{4}{a^2}+b=tb$，∵ab≠0，∴t≠1，
于是$b=\frac{{3{a^2}}}{4（1-t）}$，所以$f'（x）={x^2}+2ax+\frac{{3{a^2}}}{4（1-t）}$，
由f（x）无极值可知，$△=4{a^2}-\frac{{3{a^2}}}{1-t}≤0$，即$\frac{1-4t}{1-t}{a^2}≤0$，
所以$\frac{1-4t}{1-t}≤0，\;\;\frac{1}{4}≤t＜1$
由f（b）＜f（1-2t）知，b＜1-2t，即$\frac{{3{a^2}}}{4（1-t）}＜1-2\;t$，
就是3a²＜4（1-t）（1-2t），
而$\frac{1}{4}≤t＜1$，故${\{4（1-t）（1-2t）\}_{max}}=\frac{3}{2}$，所以$3{a^2}＜\frac{3}{2}$，
又a≠0，因此$a∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．