Question

14．?ABCD中，OA=4，OC=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{7}$，M为OA的中点，P为线段BC上一动点（包括端点）．
（1）求∠ABC；
（2）是否存在实数λ，使（λ$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）⊥$\overrightarrow{CM}$？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）?ABCO中，$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，两边平方可以求出∠ABC的余弦值，从而求出∠ABC的大小；
（2）以O为原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，用坐标表示出$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{CM}$，
利用向量运算求出λ的解析式，从而得出λ的取值范围．

解答 解：（1）?ABCO中，OA=4，OC=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴${\overrightarrow{BO}}^{2}$=${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
即${（2\sqrt{7}）}^{2}$=2²+4²+2×2×4cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞，
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{π}{3}$，
即∠ABC=$\frac{π}{3}$；
（2）以OA为x轴，以过O点的垂线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示；
设A（4，0），则M（2，0），C（1，$\sqrt{3}$），B（5，$\sqrt{3}$）；
再设P（x，$\sqrt{3}$），x∈[1，5]；
则$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（4，0），$\overrightarrow{CM}$=（1，-$\sqrt{3}$）；
假设存在实数λ，使（λ$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）⊥$\overrightarrow{CM}$，
则λ$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CM}$-$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{CM}$=0，
即4λ-x+$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$=0，
解得λ=$\frac{x-3}{4}$；
又x∈[1，5]，
∴x-3∈[-2，2]，
∴$\frac{x-3}{4}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
即λ∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
所以，存在符合条件的λ，且λ的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是把所求的问题利用向量表示出来，是综合性题目．