Question

4．（1）证明柯西不等式：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）若a，b∈R₊且a+b=1，用柯西不等式求$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）用不等式的左边减去右边，并化简为（ad-bc）²≥0，从而得证不等式成立．
（2）由条件利用柯西不等式求得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值．

解答 解：（1）证明：（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．
（2）由柯西不等式可得（1²+1²）[（$\sqrt{3a+1}$）²+（$\sqrt{3b+1}$）²]≥（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$）² ．
∵a+b=1，∴（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$）² ≤10，∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值为$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查用比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．