Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}×$2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求证数列{a_n+2ⁿ}是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设T（n）=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n∈N^*，证明：$\sum_{i=1}^{n}$T（i）＜$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）设R（n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i}$，n≥2，证明：$\frac{n}{2}$＜R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）＜n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理由等比数列的定义可得数列{a_n+2ⁿ}是等比数列，运用通项公式可得数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求出S_n，并分解，求得T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），由裂项相消求和，即可得证；
（Ⅲ）R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$=1+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），再将它放缩，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）n=1时，a₁=S₁=$\frac{4}{3}$a₁-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$，
解得a₁=2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}×$2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$-（$\frac{4}{3}$a_n-1-$\frac{1}{3}×$2ⁿ+$\frac{2}{3}$），
化简可得a_n=2ⁿ+4a_n-1，
即有a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），
则{a_n+2ⁿ}为首项为4，公比为4的等比数列，
即有a_n+2ⁿ=4ⁿ，
即a_n=4ⁿ-2ⁿ；
（Ⅱ）S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}×$2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）=$\frac{2}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1），
T_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n}-1）}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
$\sum_{i=1}^{n}$T（i）=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{4-1}$+$\frac{1}{4-1}$-$\frac{1}{8-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$
=1+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
＜1+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=n，
R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$
=1+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
＞$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{n}{2}$，
∴当n≥2，$\frac{n}{2}$＜R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）＜n．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及放缩法证明不等式的方法，属于中档题．