Question

19．在曲线xy=1上，横坐标为$\frac{n}{n+1}$的点为A_n，纵坐标为$\frac{n}{n+1}$的点为B_n，记坐标为（1，1）的点为M，P_n（x_n，y_n）是△A_nB_nM的外心，T_n是{x_n}的前n项和，则T_n=$\frac{4{n}^{2}+5n}{2n+2}$．

Answer 1

分析 由已知可得A_n$（\frac{n}{n+1}，\frac{n+1}{n}）$，B_n$（\frac{n+1}{n}，\frac{n}{n+1}）$，则线段A_nB_n的垂直平分线为y=x．可得线段A_nM的垂直平分线为：$y-\frac{2n+1}{2n}$=$\frac{n}{n+1}（x-\frac{2n+1}{2n+2}）$，把y=x代入解得x_n．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：由已知可得A_n$（\frac{n}{n+1}，\frac{n+1}{n}）$，B_n$（\frac{n+1}{n}，\frac{n}{n+1}）$，则线段A_nB_n的垂直平分线为y=x．
线段A_nM的垂直平分线为：$y-\frac{2n+1}{2n}$=$\frac{n}{n+1}（x-\frac{2n+1}{2n+2}）$，
把y=x代入解得x_n=2+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴{x_n}的前n项和T_n=2n+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2n+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$=2n+$\frac{n}{2n+2}$=$\frac{4{n}^{2}+5n}{2n+2}$．
故答案为：$\frac{4{n}^{2}+5n}{2n+2}$．

点评 本题考查了线段的垂直平分线及其性质、三角形的外心、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．