Question

8．已知公差不为零的等差数列{a_n}的前4项和为10，且a₂，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}+5}{3}$2${\;}^{{a}_{n}+2}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项和求和公式，解方程可得首项和公差d，即可得到通项；
（Ⅱ）化简b_n，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意知S₄=10，a₃²=a₂a₇，
即有$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=10}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-2}\\{d=3}\end{array}\right.$，
所以a_n=3n-5．
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{{a}_{n}+5}{3}$2${\;}^{{a}_{n}+2}$=n•2^3n-3=n•8^n-1，
则S_n=1+2•8+3•8²+…+n•8^n-1，
所以8S_n=8+2•8²+3•8³+…+n•8ⁿ，
作差得-7S_n=1+8+8²+…+8^n-1-n•8ⁿ=$\frac{1-{8}^{n}}{1-8}$-n•8ⁿ，
即有S_n=$\frac{7n•{8}^{n}-{8}^{n}+1}{49}$=$\frac{（7n-1）{8}^{n}+1}{49}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．