Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}，x≥0}\\{-{x}^{4}，x＜0}\end{array}\right.$，?x∈[-1，2]，使f（2x+t）≥4f（1-x）成立，求实数t的取值范围t≥-$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 由已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}，x≥0}\\{-{x}^{4}，x＜0}\end{array}\right.$在R上为增函数，结合复合函数的单调性，可得y=f（2x+t）在区间[-1，2]上为增函数，y=4f（1-x）在区间[-1，2]上为减函数，若?x∈[-1，2]，使f（2x+t）≥4f（1-x）成立，则y=f（2x+t）在区间[-1，2]上最大值M=f（4+t）与y=4f（1-x）在区间[-1，2]上最小值m=4f（-1）=-4满足：M≥m，进而得到实数t的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}，x≥0}\\{-{x}^{4}，x＜0}\end{array}\right.$在R上为增函数，
故y=f（2x+t）在区间[-1，2]上为增函数，y=4f（1-x）在区间[-1，2]上为减函数，
若?x∈[-1，2]，使f（2x+t）≥4f（1-x）成立，
则y=f（2x+t）在区间[-1，2]上最大值M=f（4+t）与y=4f（1-x）在区间[-1，2]上最小值m=4f（-1）=-4满足：M≥m，
即f（4+t）≥-4=f（-$\sqrt{2}$），
即4+t≥-$\sqrt{2}$，
故t≥-$\sqrt{2}$-4，
即实数t的取值范围t≥-$\sqrt{2}$-4，
故答案为：t≥-$\sqrt{2}$-4

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，复合函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档．