Question

2．为了保护环境，某市设立了若干个自行车自动租赁点，规定租车时间不超过一小时不收费，一小时以上不超过两小时收费一元，两小时以上，不超过三小时收费两元（不足一小时，按一小时计），甲、乙两人各租车一辆，甲、乙租车时间不超过一小时的概率为$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$，一小时以上，不超过两小时的概率为$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$，且两人租车时间都不会超过三小时（甲、乙两人租车时间相互独立）．
（1）求甲、乙两人所付租车费相等的概率；
（2）设两人租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙所付费用相同，利用相互独立与对立事件的概率计算公式即可得出；
（2）随机变量ξ的取值可以为0，1，2，3，4，利用相互独立与互斥事件、对立事件的概率计算公式即可得出概率、分布列，进而得出数学期望．

解答 解：设甲、乙两人租车时间不超过一小时分别为事件A₁，A₂
超过一小时，不超过两小时为事件A₂，B₂
超过二小时，不超过三小时为事件A₃，B₃
∴P（A₁）=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{1}{4}$    P（A₃）=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$
P（B₁）=$\frac{1}{4}$   P（B₂）=$\frac{1}{2}$    P（B₃）=1-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$ …（2分）
（1）设两人所付车费相等为事件C
∴P（C）=P（A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）=$\frac{5}{16}$  …（6分）
（2）∵ξ=0，1，2，3，4   …（7分）
P（ξ=0）=P（A₁B₁）=$\frac{1}{8}$
P（ξ=1）=P（A₁B₂+A₂B₁）=$\frac{5}{16}$
P（ξ=2）=P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=$\frac{5}{16}$
P（ξ=3）=P（A₂B₃+A₃B₂）=$\frac{3}{16}$
P（ξ=4）=P（A₃B₃）=$\frac{1}{16}$
∴分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

∴Eξ=1×$\frac{5}{16}$$+2×\frac{5}{16}+3×\frac{3}{16}+4×\frac{1}{16}=\frac{7}{4}$  …（12分）

点评 本题考查了相互独立与互斥事件及对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．