Question

10．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，B是椭圆的上顶点，BF₂的延长线交椭圆于点A，过点A垂直于x轴的直线交椭圆于点C．
（1）若点C坐标为$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，且|BF₂|=$\sqrt{2}$，求椭圆的方程；
（2）若F₁C⊥AB，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的方程和性质，建立方程关系即可求出a，b的值．
（2）求出C的坐标，利用F₁C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．

解答 解：（1）∵C的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{\frac{16}{9}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{9}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=9，
∵|BF₂|=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
∴a²=（$\sqrt{2}$）²=2，即b²=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF₂：y=-$\frac{b}{c}$x+b，代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）得
（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）x²-$\frac{2}{c}$x=0，
解得x=0，或x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∵A（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），且A，C关于x轴对称，
∴C（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
则${k}_{{F}_{1}C}$=-$\frac{\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}+c}$=$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$，
∵F₁C⊥AB，
∴$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$•（-$\frac{b}{c}$）=-1，
由b²=a²-c²得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．