Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，sinθ），$\overrightarrow{n}$=（1，cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=sinx+sin（x-θ）在区间上[0，$\frac{5π}{6}$]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接计算即可；
（Ⅱ）通过化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$），结合x∈[0，$\frac{5π}{6}$]即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，∴$\sqrt{3}cosθ-sinθ=0，tanθ=\sqrt{3}$，
又∵$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，∴$θ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）$f（x）=sinx+sin（{x-\frac{π}{3}}）=sinx+\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx=\frac{3}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$
=$\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx}）=\sqrt{3}sin（{x-\frac{π}{6}}）$，
∵$θ∈[{0，\frac{5π}{6}}]$，∴$x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（{x-\frac{π}{6}}）≤1$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤f（x）≤\sqrt{3}$，
当x=0时，${f_{min}}（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
当$x=\frac{2π}{3}$时，${f_{max}}（x）=\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变换，注意解题方法的积累，属于中档题．