Question

9．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}+\frac{alnx}{2}$
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）在点A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁和x₂，设过M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））的直线的斜率为k，求证：k＞a+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-1时，函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求得导数，令g（x）=2x²+ax+2（x＞0），对判别式大于0，小于等于0，解不等式即可得到单调区间；
（Ⅲ）求出斜率k，结合分析法证明，即证$ln{x_2}-{x_2}+\frac{1}{x_2}＜0$在（1，+∞）上恒成立．令$h（x）=lnx-x+\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞），求出导数，运用单调性即可得证．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，$f（x）=x-\frac{1}{x}-\frac{lnx}{2}$，
则${f^'}（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x}$，∴${f^'}（1）=\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）在点A（1，0）处的切线方程$y=\frac{3}{2}（{x-1}）$，
化简得3x-2y-3=0；
（Ⅱ）${f^'}（x）=1+\frac{1}{x^2}+\frac{a}{2x}=\frac{{2{x^2}+ax+2}}{{2{x^2}}}（x＞0）$，
令g（x）=2x²+ax+2（x＞0）
①当△=a²-16≤0时，g（x）≥0，2x²＞0，
则f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当△=a²-16＞0时
（ⅰ）当a＞4时，g（x）＞0，则f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ⅱ）当a＜-4时，g（x）=0有两根，又g（0）=2＞0，
对称轴$x=-\frac{a}{4}＞1$，且$0＜{x_1}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}$，${x_2}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}$，
令g（x）＞0，解得0＜x＜x₁或x＞x₂，此时f′（x）＞0
令g（x）＜0，解得x₁＜x＜x₂，此时f′（x）＜0．
综上所述：当-4≤a≤4或a＞4时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜-4时，f（x）在$（{0，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}}）$和$（{\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}，+∞}）$上单调递增，
在$（{\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}，\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}}）$上单调递减．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知函数f（x）有两个极值点x₁和x₂，则a＜-4，且x₁x₂=1，
不妨设x₁＜x₂
又$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$\frac{{{x_2}-\frac{1}{x_2}+\frac{a}{2}ln{x_2}-（{{x_1}-\frac{1}{x_1}+\frac{a}{2}ln{x_1}}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$1+\frac{1}{{{x_2}•{x_1}}}+\frac{a}{2}\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$2+\frac{a}{2}\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．
∴欲证k＞a+2，即证$2+\frac{a}{2}\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＞a+2$，∵a＜-4，
即证$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{2（{{x_2}-{x_1}}）}}＜1$即证lnx₂-lnx₁＜2x₂-2x₁又x₁x₂=1，${x_1}=\frac{1}{x_2}$，且x₂＞1，
即证$ln{x_2}-{x_2}+\frac{1}{x_2}＜0$在（1，+∞）上恒成立．
令$h（x）=lnx-x+\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-1=\frac{{-{x^2}+x-1}}{x^2}$=$\frac{{-{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}-\frac{3}{4}}}{x^2}＜0$，
∴$h（x）=lnx-x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是递减函数，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴$ln{x_2}-{x_2}+\frac{1}{x_2}＜0$在（1，+∞）上恒成立
∴k＞a+2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查不等式的恒成立思想，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．