Question

1．设函数f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}}$+lnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{3}，2}]$，都有x₁•f（x₁）≥g（x₂）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=-\frac{a}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2a}}{x^3}$，对参数a讨论得到函数的单调区间．
（Ⅱ）由题对于任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{3}，2}]$，都有x₁•f（x₁）≥g（x₂）成立，则x₁•f（x₁）≥g（x）_max，然后分离参数，求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=-\frac{a}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2a}}{x^3}$，
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，若$x≥\sqrt{2a}$，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
若$0＜x＜\sqrt{2a}$，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以，函数f（x）在区间$（0，\sqrt{2a}）$上单调递减，在区间$（\sqrt{2a}，+∞）$上单调递增．…（4分）
（Ⅱ）$g'（x）=3{x^2}-2x=3x（x-\frac{2}{3}）$，$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$，
可见，当$x∈[{\frac{2}{3}，2}]$时，g'（x）≥0，g（x）在区间$[{\frac{2}{3}，2}]$单调递增，
当$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]$时，g'（x）≤0，g（x）在区间$[{\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]$单调递减，
而$g（\frac{1}{3}）=-\frac{83}{27}＜g（2）=1$，所以，g（x）在区间$[{\frac{1}{3}，2}]$上的最大值是1，
依题意，只需当$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$时，xf（x）≥1恒成立，
即 $\frac{a}{x}+xlnx≥1$恒成立，亦即a≥x-x²lnx； …（8分）
令$h（x）=x-{x^2}lnx（x∈[{\frac{1}{3}，2}]）$，
则h'（x）=1-x-2xlnx，显然h'（1）=0，
当$x∈[{\frac{1}{3}，1}）$时，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，
即h（x）在区间$[{\frac{1}{3}，1}）$上单调递增；
当x∈（1，2]时，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；
所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，
故 a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）

点评 本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．