Question

10．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=$\frac{5}{4}$|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）点A（-a，a）（a＞0）在抛物线C上，是否存在直线l：y=kx+4与C交于点M，N，使得△MAN是以MN为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （I）设Q（4，y₀），代入x²=2py，结合|QF|=$\frac{5}{4}$|PQ|．求出p，即可求解C的方程．
（II）求出A（-4，4），假设存在满足条件的直线l，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组利用韦达定理以及判别式，通过三角形是直角三角形，数量积为0求解k即可．

解答 解：（I）设Q（4，y₀），代入x²=2py，
得${y_0}=\frac{8}{p}\;，\;∴|{PQ}|=\frac{8}{p}\;，\;|{QF}|=\frac{p}{2}+{y_0}=\frac{p}{2}+\frac{8}{p}$．
由题设得$\frac{p}{2}+\frac{8}{p}=\frac{5}{4}×\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2，
∴C的方程为x²=4y…（4分）
（II）由x²=4y知，点A（-4，4），假设存在满足条件的直线l，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+4\end{array}\right.$得x²-4kx-16=0，
△=16（k²+4）＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16…（6分）
由题意得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}+4，{y_1}-4）（{x_2}+4，{y_2}-4）=（{x_1}+4）（{x_2}+4）+{k^2}{x_1}{x_2}$=（1+k²）x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=0，…（10分）
代入x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16得-（1+k²）+k+1=0，
解得k=0（舍）或k=1…（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．