Question

18．已知函数y=f（x）满足对于任意的x＞0恒有f（3x）=3f（x）成立，当1≤x≤3时，f（x）=1-|x-2|，则集合{x|f（x）=f（33）}中最小的元素为15．

Answer 1

分析 根据条件求出f（33）的值，根据条件关系，将函数转化为分段函数形式，进行解方程即可．

解答 解：由题意：
f（33）=3f（11）=9f（$\frac{11}{3}$）=27f（$\frac{11}{9}$），
又∵$\frac{11}{9}$∈[1，3]，∴f（$\frac{11}{9}$）=1-|$\frac{11}{9}$-2|=$\frac{2}{9}$
∴f（33）=27f（$\frac{11}{9}$）=27×$\frac{2}{9}$=6；
∵x∈[1，3]有f（x）=1-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，}&{1≤x＜2}\\{3-x，}&{2≤x≤3}\end{array}\right.$，
∴若x∈[3，9]，则$\frac{x}{3}$∈[1，3]，f（x）=f（3•$\frac{x}{3}$）=3f（$\frac{x}{3}$）=3[1-|$\frac{x}{3}$-2|]，
若x∈[9，27]，则$\frac{x}{3}$∈[3，9]，f（x）=f（3•$\frac{x}{3}$）=3f（$\frac{x}{3}$）=9[1-|$\frac{x}{9}$-2|]，
作出函数在[1，27]上的图象如图：
若f（x）=f（33）=6，
则满足条件的最小x∈[9，18]，
此时有9[1-|$\frac{x}{9}$-2|]=6，
得|$\frac{x}{9}$-2|=$\frac{1}{3}$，
解得x=15，
故最小的元素为15，
故答案为：15．

点评 本题考查函数的性质，方程解的求解，根据条件将函数转化为分段函数形式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．