Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0），双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0）的右焦点都与抛物线y²=4x的焦点F重合．
（1）若椭圆、双曲线、抛物线在第一象限交于同一点P，求椭圆与双曲线的标准方程．
（2）若双曲线与抛物线在第一象限交于Q点，以Q为圆心且过抛物线的焦点F的圆被y轴截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求双曲线的离心率．

Answer 1

分析 （1）直接由题意求出椭圆和双曲线的半焦距c，结合隐含条件求得椭圆的短半轴长，则椭圆方程可求；联立椭圆方程和抛物线方程，求得P的坐标，代入双曲线方程，再与双曲线的隐含条件联立求得m，n，则双曲线方程可求；
（2）设出Q的坐标，由已知列式求得Q的坐标，再由勾股定理求出Q到双曲线左焦点的距离，利用双曲线定义求得实半轴长，则双曲线的离心率可求．

解答 解：（1）由抛物线y²=4x，得抛物线的交点F（1，0），
∴椭圆的半焦距c=1，则b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：P（$\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{m}^{2}}-\frac{8}{3{n}^{2}}=1}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：${m}^{2}=\frac{1}{9}，{n}^{2}=\frac{8}{9}$．
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{9}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{8}{9}}=1$；
（2）设Q（${x}_{0}，2\sqrt{{x}_{0}}$），则$（{x}_{0}+1）^{2}=（\sqrt{3}）^{2}+{{x}_{0}}^{2}$，解得x₀=1，
则QF与x轴垂直，设双曲线的左焦点为F′，
则（QF′）²=QF²+（2c）²=2²+2²=8，∴$QF′=2\sqrt{2}$，
则$2m=QF′-QF=2\sqrt{2}-2$，m=$\sqrt{2}-1$．
则双曲线的离心率e=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查椭圆方程与双曲线方程的求法，考查了圆与抛物线相交问题，关键是对抛物线定义的灵活运用，是中档题．