Question

15．已知等差数列{a_n}满足a₂+a₄+a₂₀₁₂+a₂₀₁₄=$\frac{32}{π}$${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，S_n是该数列的前n项的和，则S₂₀₁₅=4030．

Answer 1

分析 由定积分的几何意义${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{1}{4}π×{1}^{2}$．可得a₂+a₄+a₂₀₁₂+a₂₀₁₄=8．由于数列{a_n}是等差数列，可得a₂+a₂₀₁₄=a₄+a₂₀₁₂=a₁+a₂₀₁₅，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：由定积分的几何意义${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{1}{4}π×{1}^{2}$=$\frac{1}{4}π$．
∵a₂+a₄+a₂₀₁₂+a₂₀₁₄=$\frac{32}{π}$${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{32}{π}×\frac{π}{4}$=8，
∵数列{a_n}是等差数列，
∴a₂+a₂₀₁₄=a₄+a₂₀₁₂=a₁+a₂₀₁₅，
∴2（a₂+a₂₀₁₄）=8，
∴a₂+a₂₀₁₄=4．
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=4030．
故答案为：4030．

点评 本题考查了微积分基本定理、等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．