Question

8．已知m≥0，函数f（x）=2|x-1|-|2x+m|的最大值为3．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a-2b+c=m，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式，可得f（x）_max=m+2，结合数f（x）=2|x-1|-|2x+m|的最大值为3，即可求实数m的值；
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+1²]≥（a-2b+c）²，即可求a²+b²+c²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2|x-1|-|2x+m|=|2x-2|-|2x+m|≤|（2x-2）-（2x+m）|=|m+2|
∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）_max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+1²]≥（a-2b+c）²，
∵a-2b+c=m=1，∴${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{6}$，
当$\frac{a}{1}=\frac{b}{-2}=\frac{c}{1}$，即$a=\frac{1}{6}，b=-\frac{1}{3}，c=\frac{1}{6}$时取等号，∴a²+b²+c²的最小值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．