Question

20．设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+tsin\frac{5π}{6}\\ y=-tcos\frac{π}{6}\end{array}$（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{6cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=$\frac{6cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρsin²θ=6cosθ，ρ²sin²θ=6ρcosθ，可得直角坐标方程，可指出曲线是抛物线；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=$\frac{6cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρsin²θ=6cosθ，ρ²sin²θ=6ρcosθ，∴y²=6x．
∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线…（5分）
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+tsin\frac{5π}{6}\\ y=-tcos\frac{π}{6}\end{array}\right.$化为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，代入y²=6x得t²-4t-12=0（*），
由（*）式解得t₁=6，t₂=-2，|AB|=|t₁-t₂|=8．…（10分）

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用参数的几何意义解决问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．