Question

4．已知函数f（x）=asin（ωx+θ）-b的部分图象如图，其中ω＞0，|θ|＜$\frac{π}{2}$，a，b分别是△ABC的角A，B所对的边，$cosC=f（\frac{C}{2}）+1$，则△ABC的面积S=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 根据函数的图象，先求出函数的解析式，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：由函数的图象可知函数的最大值为a-b=$\sqrt{2}$-1，最小值为-a-b=-$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{8}-\frac{3π}{8}$=$\frac{4π}{8}=\frac{π}{2}$，
即函数的周期T=π，
即 $\frac{2π}{ω}$=π，
即ω=2，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+θ）-1，
∵f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3π}{8}$+θ）-1=$\sqrt{2}-1$，
∴sin（$\frac{3π}{4}$+θ）=1，
即$\frac{3π}{4}$+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即θ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵|θ|＜$\frac{π}{2}$，
∴k=0时，θ=-$\frac{π}{4}$，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，
∵$cosC=f（\frac{C}{2}）+1$，
∴cosC=$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）-1+1=sinC-cosC，
即sinC=2cosC，
平方得sin²C=4cos²C，
5sin²C=4，解得sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角形面积公式的计算，根据图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键．