Question

14．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1-S_n=n+1，n∈N^*，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）对一切n∈N^*，若p（a_n+1）＞3n-1恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （I）a_n+1-S_n=n+1，n∈N^*，当n≥2时，a_n-S_n-1=n，可化为a_n+1+1=2（a_n+1）．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：${a}_{n}={2}^{n}-1$，由p（a_n+1）＞3n-1恒成立，可得p＞$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，令f（n）=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
通过作差研究其单调性即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1-S_n=n+1，n∈N^*，当n≥2时，a_n-S_n-1=n，
∴a_n+1-a_n-a_n=1，化为a_n+1+1=2（a_n+1）．
由a₁=1，a₂-a₁=2，解得a₂=3，∴a₂+1=2（a₁+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
（II）解：由（I）可得：a_n+1=2ⁿ，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
由p（a_n+1）＞3n-1恒成立，可得p＞$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
令f（n）=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
则f（n+1）-f（n）=$\frac{3（n+1）-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{4-3n}{{3}^{n+1}}$，
当n=1时，由f（n+1）＞f（n）；当n≥2时，有f（n+1）＜f（n），
∴当n=2时，[f（n）]_max=$\frac{5}{4}$．
∴$p＞\frac{5}{4}$．
即实数p的取值范围是$（\frac{5}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．