Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\frac{4}{5}$．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）-$\frac{π}{2}$＜β＜0＜α＜$\frac{π}{2}$，sinβ=-$\frac{5}{13}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）根据cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ进行计算；
（2）根据角的范围，求出cosβ，sin（α-β），利用cosα=sin[β+（α-β）]按照两角和正弦函数展开，代入已知以及求出的结果，即可得到cosα的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\frac{4}{5}$．
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=[（cosβ-cosα）+（sinβ-sinα）]²，
=cos²β-2cosβcosα+cos²α+sin²β-2sinβ•sinα+sin²α，
=2-2（cosβcosα+sinβ•sinα）
=2-2cos（α-β）=$\frac{4}{5}$．
解得cos（α-β）=$\frac{3}{5}$；
（2）∵-$\frac{π}{2}$＜β＜0，sinβ=-$\frac{5}{13}$，
∴cosβ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=-$\frac{12}{13}$．
又∵-$\frac{π}{2}$＜β＜0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜α-β＜π，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=cos[β+（α-β）]=cosβcos（α-β）-sinβsin（α-β）=（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{3}{5}$-（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{4}{5}$=-$\frac{56}{65}$．
即cosα=-$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，其中角的变换cosα=sin[β+（α-β）]为解题简化过程，值得同学反思和总结．