Question

13．以直角坐标系的原点为极点x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．则曲线C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0上的点到曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）上的点的最短距离为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$可把曲线C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0化为直角坐标方程，由曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为x+y-4=0，求出圆心到直线的距离d，即可得出圆上的点到直线的最短距离=d-r．

解答 解：曲线C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0化为x²+y²-2x-1=0，配方为（x-1）²+y²=2．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），化为x+y-4=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|1+0-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴圆上的点到直线的最短距离=d-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．