Question

2．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，b≤a}\end{array}\right.$，设函数f（x）=min{2$\sqrt{x}$，|x-2|}，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围为$（4，8-2\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的定义作出函数f（x）的图象，根据函数图象有三个交点，确定三个交点之间的关系即可得到结论．

解答 解：由2$\sqrt{x}$=|x-2|，
平方得4x=x²-4x+4，
即x²-8x+4=0，
解得x=4+2$\sqrt{3}$或x=4-2$\sqrt{3}$，
设x₁＜x₂＜x₃，
作出函数f（x）的图象如图：
则0＜x₁＜4-2$\sqrt{3}$，x₂与x₃，关于x=2对称，
则x₂+x₃=4，
则x₁+x₂+x₃=x₁+4，
∵0＜x₁＜4-2$\sqrt{3}$，
∴4＜4+x₁＜8-2$\sqrt{3}$，
即x₁+x₂+x₃的取值范围为$（4，8-2\sqrt{3}）$，
故答案为：$（4，8-2\sqrt{3}）$

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据定义作出函数的图象，结合函数的对称性是解决本题的关键．