Question

17．已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到△B₁AE的位置，使平面B₁AE⊥平面AECD，F为B₁D的中点．
（1）证明：B₁E∥平面ACF；
（2）求平面ADB₁与平面ECB₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明：B₁E∥平面ACF；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到结论．

解答 证明：（1）连结ED交AC于O，连结OF，
因为AECD为菱形，OE=OD，
所以FO∥B₁E，
所以B₁E∥平面ACF．…（4分）
（2）取AE的中点M，连结B₁M，连结MD，则∠AMD=90°，
分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴建系，
则E（$\frac{a}{2}$，0，0），C（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），A（-$\frac{a}{2}$，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），
B₁（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
则$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
设面ECB₁的法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\\{-\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{u}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），…（8分）
同理面ADB₁的法向量为$\overrightarrow{v}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）…（10分）
所以cos＜$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$＞=$\frac{1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}•\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{3}{5}$，
故平面ADB₁与平面ECB₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{3}{5}$   …（12分）

点评 本题主要考查空间平行的位置关系的判断，以及二面角的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．