Question

9．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=θ，且θ∈（0，π）（如图2所示）．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BDC；
（Ⅱ）若θ=90°，当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；并求出其体积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AD⊥平面BCD，即可证明平面ABD⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A-BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可．

解答 （Ⅰ）证明：在如图1所示的△ABC中，由折起前AD⊥BC知，折起后（如图2），AD⊥DC，AD⊥BD，
且BD∩DC=D，∴AD⊥平面BCD．
又AD?平面ABD，
∴面ABD⊥平面BDC．    …（6分）
（Ⅱ）解：在△ABC中，设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×AD×S_△BCD=$\frac{1}{3}$×（3-x）×$\frac{1}{2}$×x（3-x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）
设f（x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大． …（12分）

点评 本题主要考查了面面垂直的判定，考查三棱锥A-BCD的体积的计算，考查折叠问题中的不变量，有一定的运算量，属中档题．