Question

18．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点．
有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形； ②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切； 
④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是①③，（填序号）

Answer 1

分析 本题考查抛物线的定义和标准方程的有关知识，先由抛物线方程求出M，N的坐标，然后判断△PMN是否为为直角三角形，求出直线PM的方程，然后判断是否相切．

解答 解：抛物线方程为y²=2px（p＞0），焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），则P点坐标为（-$\frac{p}{2}$，0），可求出点M（$\frac{p}{2}$，p），N（$\frac{p}{2}$，-p），
∴|PF|=$\frac{1}{2}$，|MN|=p，∴∠MPN=90°，故①正确，②不正确；
联立直线PM方程与抛物线方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得x²-px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，其判别式△=0．
∴直线PM必与抛物线相切，故③正确，④不正确．
综上①③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查抛物线标准方程，考查抛物线的简单性质，解题关键是根据标准方程求出M，N坐标，是中档题．