Question

8．已知函数f（x）=ln（1+x）（x＞0）．
（Ⅰ）证明：$\frac{x}{1+x}＜f（x）$；
（Ⅱ）比较2015²⁰¹³与2014²⁰¹⁴的大小；
（Ⅲ）给定正整数n（n＞2015），n个正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=1，
证明：${（\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_2}^2}}{{1+{x_2}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}）^{2015}}＞{（\frac{1}{2016}）^n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令$h（x）=f（x）-\frac{x}{1+x}=ln（1+x）-\frac{x}{1+x}（x＞0）$，证明h（x）在（0，+∞）上是增函数，所以x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即可证明结论；
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{ln（1+x）}{x}（x＞0）$，证明g（x）在（0，+∞）上是减函数，即可比较2015²⁰¹³与2014²⁰¹⁴的大小；
（Ⅲ）由x₁+x₂+…+x_n=1及柯西不等式，证明$\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}≥\frac{1}{1+n}$，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）证明：令$h（x）=f（x）-\frac{x}{1+x}=ln（1+x）-\frac{x}{1+x}（x＞0）$，
则x＞0时，$h'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{x}{{{{（1+x）}^2}}}＞0$，
所以h（x）在（0，+∞）上是增函数，所以x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
所以x＞0时，$ln（1+x）＞\frac{x}{1+x}$，即$\frac{x}{1+x}＜f（x）$；                 …（4分）
（Ⅱ）解：令$g（x）=\frac{ln（1+x）}{x}（x＞0）$，则$g'（x）=\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{{x^2}（1+x）}}$，
由（Ⅰ）知x＞0时，x-（1+x）ln（1+x）＜0，
所以x＞0时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为2014＞2013，所以$\frac{ln（1+2014）}{2014}＜\frac{ln（1+2013）}{2013}$，
即2013ln2015＜2014ln2014，所以2015²⁰¹³＜2014²⁰¹⁴；          …（9分）
（Ⅲ）证明：由x₁+x₂+…+x_n=1及柯西不等式得：$（\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_2}^2}}{{1+{x_2}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}）（1+n）$=$（\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_2}^2}}{{1+{x_2}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}）[（1+{x_1}）+（1+{x_2}）+…+（1+{x_n}）]$$≥{（\sqrt{\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}}•\sqrt{1+{x_1}}+\sqrt{\frac{{{x_2}^2}}{{1+{x_2}}}}•\sqrt{1+{x_2}}+…+\sqrt{\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}}•\sqrt{1+{x_n}}）^2}$=${（{x_1}+{x_2}+…+{x_n}）^2}=1$，
所以$\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}≥\frac{1}{1+n}$，
所以${（\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}）^{2015}}≥{（\frac{1}{1+n}）^{2015}}$，
又由（Ⅱ）知n＞m＞0时，$\frac{ln（1+n）}{n}＜\frac{ln（1+m）}{m}$，因而（1+n）^m＜（1+m）ⁿ，
所以n＞2015时，（1+n）²⁰¹⁵＜（1+2015）ⁿ，即（1+n）²⁰¹⁵＜2016ⁿ，
所以${（\frac{1}{1+n}）^{2015}}＞{（\frac{1}{2016}）^n}$，
所以${（\frac{{{x_1}^2}}{{1+{x_1}}}+\frac{{{x_2}^2}}{{1+{x_2}}}+…+\frac{{{x_n}^2}}{{1+{x_n}}}）^{2015}}＞{（\frac{1}{2016}）^n}$．                  …（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．