Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前2n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推式可得a_n，再利用等差数列的定义即可证明．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n=2^2n-1+（-1）ⁿ（2n-1），分组求和：利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，上式也成立，∴a_n=2n-1．
∴当n≥2时，a_n-a_n-1=（2n-1）-（2（n-1）-1）=2，
∴数列{a_n}是等差数列，以1为首项，2为公差．
（2）解：b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n=2^2n-1+（-1）ⁿ（2n-1），
∴数列{b_n}的前2n项和=（2¹+2³+…+2^2n-1）+[（-1+3）+（-5+7）+…+（-（4n-3）+（4n-1））]
=$\frac{2（{4}^{2n}-1）}{4-1}$+2n
=$\frac{2×{4}^{2n}}{3}$+2n-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．