Question

16．已知函数f（x）=aln（1+x）-aln（1-x）-x-$\frac{{x}^{3}}{3（1-{x}^{2}）}$．当0＜x＜1时，f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求导数，利用判别式分类讨论，结合函数的单调性，即可求实数a的取值范围；

解答 解：f′（x）=$\frac{-2{x}^{4}+（3-6a）{x}^{2}+6a-3}{3（1-{x}^{2}）^{2}}$，
依题知f（0）=0，故f′（x）≤0，则a≤$\frac{1}{2}$．
令g（x）=-2x²+（3-6a）x+6a-3，x∈（0，1]，△=（6a-3）（6a+5）
①-$\frac{5}{6}≤a≤$$\frac{1}{2}$，△≤0，此时g（x）≤0，故f′（x）≤0，而f（0）=0，所以-$\frac{5}{6}≤a≤$$\frac{1}{2}$符合题意．
②a＜-$\frac{5}{6}$，△＞0，而g（x）对称轴x=$\frac{3-6a}{4}$＞2，故g（x）在（0，1）单调递增
且g（1）=-2，则g（x）＜0，故f′（x）≤0，而f（0）=0，所以a＜-$\frac{5}{6}$符合题意．
综上，a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数的关键．属于中档题目．