Question

13．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+（-1）ⁿlog₂a_n，其前n项和为T_n，求T_2n-1．

Answer 1

分析 （1）根据条件，建立方程组即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用分组求和方法，对n讨论是奇数和偶数，即可得到T_2n-1．

解答 解：（1）设单调递增的等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
即 a₁q+a₁q³-2a₁q²=4，
又a₂+a₃+a₄=28，
即a₁q+a₁q²+a₁q³=28，
∴q=$\frac{1}{2}$（舍去）或q=2，
∴a₁=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•n，
当n为奇数时，前n项和为T_n=（2+4+…+2ⁿ）+（-1+2-3+4+…-n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n-1}{2}$-n，
当n为偶数时，前n项和为T_n=（2+4+…+2ⁿ）+（-1+2-3+4+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n}{2}$，
即有T_2n-1=$\frac{2（1-{2}^{2n-1}）}{1-2}$+$\frac{2n-1-1}{2}$-（2n-1）
=2²ⁿ-n．

点评 本题主要考查数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握分组求和的方法进行求和，考查学生的计算能力．