Question

2．大量统计数据表明，某班一周内（周一到周五）各天语文、数学、外语三科有作业的概率如下表：

	周一	周二	周三	周四	周五
语文	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
数学	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
外语	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

根据上表：
（Ⅰ）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率；
（Ⅱ）设一周内有数学作业的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）理解表格给出的数据，利用概率公式求解，P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$$\overline{{A}_{2}}$$\overline{{A}_{3}}$）=（1-P（A））（1-P（B））（1-P（C））；
（II）一周内有数学作业的天数为ξ，则ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4、5，分别求解概率，分清事件的构成得出正确的概率，列出分布列．

解答 解：（Ⅰ）设周五有语文、数学、外语三科作业分别为事件A₁、A₂、A₃周五没有语文、数学、外语三科作业为事件A，
则由已知表格得：P（A₁）=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{2}{3}$，P（A₃）=$\frac{2}{3}$，P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$$\overline{{A}_{2}}$$\overline{{A}_{3}}$）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{2}{3}$）；
（Ⅱ）设一周内有数学作业的天数为ξ，则ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4、5，
∴P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{2}$）⁴（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{48}$
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$$•\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）³（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）⁴（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{2}{3}$）+${C}_{4}^{1}$$•\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）³$•\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$•（$\frac{1}{2}$）³（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{2}{3}$）+${C}_{4}^{2}$$•（\frac{1}{2}）$²（1-$\frac{1}{2}$）²$•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$（$\frac{1}{2}$）⁴（1-$\frac{2}{3}$）+${C}_{4}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=5）=（$\frac{1}{2}$）⁴×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{24}$，
所以随机变量ξ的概率分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{48}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{24}$

∴Eξ=0×$\frac{1}{48}$$+1×\frac{1}{8}$$+2×\frac{7}{24}$$+3×\frac{1}{3}$$+4×\frac{3}{16}$$+5×\frac{1}{24}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了离散型的概率问题在实际问题中的应用，关键仔细阅读题意，弄清概率的类型，结构，熟练掌握好组合问题，属于难题．