Question

12．如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是圆O的割线，已知AC=AB．
（Ⅰ）证明：∠CEA=∠DCA；    
（Ⅱ）证明：FG∥AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切线长与割线长的关系及AB=AC，证明△ACD∽△AEC，即可得出结论．
（Ⅱ）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．

解答 证明：（Ⅰ）∵AB为切线，AE为割线，∴AB²=AE•AD，
又∵AB=AC，∴AC²=AE•AD，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
又∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴∠CEA=∠DCA； 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC． 10分

点评 本题考查三角形相似，切割线定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力．