Question

17．已知数列{a_n}共有n项，且通项公式为a_k=k+3^k（k∈N^*），则数列{a_k${C}_{n}^{k}$}的各项之和S_n为（　　）

• A． n•4^n-1
• B． 4ⁿ-1
• C． n•2^n-1+4ⁿ-1
• D． n•4^n-1+2ⁿ-1

Answer 1

分析 a_k=k+3^k（k∈N^*），可得a_k${C}_{n}^{k}$=$k{∁}_{n}^{k}$+${3}^{k}{∁}_{n}^{k}$，利用（1+3）ⁿ=$\sum_{k=0}^{n}{∁}_{n}^{k}$•3^k=4ⁿ，$k{∁}_{n}^{k}$=$n{∁}_{n-1}^{k-1}$．即可得出．

解答 解：∵a_k=k+3^k（k∈N^*），
∴a_k${C}_{n}^{k}$=$k{∁}_{n}^{k}$+${3}^{k}{∁}_{n}^{k}$，
∵（1+3）ⁿ=$\sum_{k=0}^{n}{∁}_{n}^{k}$•3^k=4ⁿ，$k{∁}_{n}^{k}$=$n{∁}_{n-1}^{k-1}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}k{∁}_{n}^{k}$=$n\sum_{k=1}^{n}{∁}_{n-1}^{k-1}$=n×2^n-1．
∴数列{a_k${C}_{n}^{k}$}的各项之和S_n=4ⁿ-1+n×2^n-1．
故选：C．

点评 本题考查了数列求和、二项式定理、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．