Question

6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0），斜率为$\sqrt{3}$，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于直线l过点P（1，0），斜率为$\sqrt{3}$，即可得出直线l的一个参数方程；由ρ=ρcos2θ+8cosθ，化为（ρsinθ）²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（Ⅱ） 把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入y²=4x整理得：3t²-8t-16=0，利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为$\sqrt{3}$，
∴直线l的一个参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）；
∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1-cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴y²=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
（Ⅱ） 把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入y²=4x整理得：3t²-8t-16=0，
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则${t_1}{t_2}=-\frac{16}{3}$，
∴$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．