Question

14．已知矩阵$M=（{\begin{array}{l}1&a\\ 0&b\end{array}}）$，其中a，b∈R．若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-1，-4）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow a=（{\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}}）$，求M¹⁰$\overrightarrow a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$（{\begin{array}{l}1&a\\ 0&b\end{array}}）$$（{\begin{array}{l}1\\{-2}\end{array}}）$=$（{\begin{array}{l}{-1}\\{-4}\end{array}}）$计算即可；
（Ⅱ）令特征多项式$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&{-1}\\ 0&{λ-2}\end{array}}|$=0，可得特征值λ₁=1，λ₂=2，进而可得对应的特征向量，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由$（{\begin{array}{l}1&a\\ 0&b\end{array}}）$$（{\begin{array}{l}1\\{-2}\end{array}}）$=$（{\begin{array}{l}{-1}\\{-4}\end{array}}）$，得$\left\{{\begin{array}{l}{1-2a=-1}\\{-2b=-4}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$；
（Ⅱ）由（I）知$M=（{\begin{array}{l}1&1\\ 0&2\end{array}}）$．
令$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&{-1}\\ 0&{λ-2}\end{array}}|$=（λ-1）（λ-2）=0，
解得λ₁=1，λ₂=2．
属于λ₁=1的一个特征向量$\overrightarrow{e_1}=（{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}）$，
属于λ₂=2的一个特征向量$\overrightarrow{e_2}=（{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}）$，
∴$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$．
∴${M^{10}}\overrightarrow a={M^{10}}（{\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}}）$
=${λ_1}^{10}\overrightarrow{e_1}+{λ_2}^{10}\overrightarrow{e_2}$
=$（{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}）+{2^{10}}（{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}）=（{\begin{array}{l}{1025}\\{1024}\end{array}}）$．

点评 本题考查矩阵变换，注意解题方法的积累，属于中档题．