Question

9．数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）
（1）记d_n=a_n+1-a_n，求证数列{d_n}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+2=3a_n+1-2a_n变形可得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），进而可得结论；
（2）通过a_n+1-a_n=${d_n}=1×{2^{n-1}}$可得a_n-a_n-1=2^n-2（n≥2），累加计算即可．

解答 （1）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又∵a₁=2，a₂=3，∴a₂-a₁=3-2=1，
∴数列{d_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴${d_n}=1×{2^{n-1}}$；
（2）解：∵a_n+1-a_n=${d_n}=1×{2^{n-1}}$，
∴a_n-a_n-1=2^n-2（n≥2），
累加得：a_n=2^n-2+2^n-3+…+2²+2+1+a₁
=2^n-2+2^n-3+…+2²+2+1+2
=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$+2
=2^n-1+1，
∴数列{a_n}的通项${a_n}={2^{n-1}}+1$．

点评 本题考查数列的递推公式，对表达式的灵活变形、及利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．