Question

19．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\frac{f′（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；
（Ⅲ）若x、y、m满足|x-m|≤|y-m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比较$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪个更接近lnx，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过f（x）得f′（x），令x=1得f（0）=1，再在f（x）中令x=0得f（0），从而得f（x）=e^2x+x²-2x；
（Ⅱ）由（I）知g（x）=e^x-a（x-1），从而g′（x）=e^x-a，分①a≤0、②a＞0，通过g′（x）与0的关系讨论即可；
（Ⅲ）通过设设p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，q（x）=e^x-1+a-lnx，对其求导后可得p（x）在[1，+∞）上为减函数，q（x）在∈[1，+∞）上为增函数，分1≤x≤e、x＞e两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，得f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），
所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1．
又f（0）=$\frac{1}{2}$f′（1）e^-2，
所以f（x）=e^2x+x²-2x．
（Ⅱ）∵f（x）=e^2x-2x+x²，
∴g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a=e^x-x-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a=e^x-a（x-1）
∴g′（x）=e^x-a，
①a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由g′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．
（Ⅲ）解：设p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，q（x）=e^x-1+a-lnx，
∴p′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
∴p（x）在[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，
∴当1≤x≤e时，p（x）≥0；当x＞e时，p（x）＜0．
∵q′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，q″（x）=e^x-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴q′（x）在[1，+∞）上为增函数，又q′（1）=0，
∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，
∴q（x）在∈[1，+∞）上为增函数，
∴q（x）≥g（1）=a+2＞0．
①当1≤x≤e时，|p（x）-q（x）|=p（x）-q（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1-a，
设m（x）=2lnx-e^x-1-a，
则m′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$＜0，
∴m（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵当a≥2，
∴m（x）＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更接近lnx．
②当x＞e时，|p（x）-q（x）|=-p（x）-q（x）=-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1-a＜2lnx-e^x-1-a，
设n（x）=2lnx-e^x-1-a，则n′（x）=$\frac{2}{x}$-e^x-1，n″（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-e^x-1＜0，
∴n′（x）在x＞e时为减函数，
∴n′（x）＜n′（e）=$\frac{2}{e}$-e^e-1＜0，
∴n（x）在x＞e时为减函数，
∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更接近lnx．
综上：在a≥2且x≥1时时，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更接近lnx．

点评 本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于难题