Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是以AD为底的等腰三角形．
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积等于$\frac{3}{2}$，试求PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意取AD的中点G，连接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，证出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；
（Ⅱ）由V_P-BCD=V_B-PCD得点B到平面PCD的距离，即可求出PB与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接PG、GB、BD∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG?平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．…（5分）
（Ⅱ）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，
∴PG⊥底面ABCD；
在底面直角梯形ABCD中，由已知可得$BC=\sqrt{3}$，
由${V_{P-ABCD}}=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}•（1+2）•\sqrt{3}]•PG=\frac{3}{2}$，得$PG=\sqrt{3}$，
而BG=CG=$\sqrt{3}$，DG=1，
在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得PB=$\sqrt{6}$、PC=$\sqrt{6}$、PD=2，
在△PCD中，$cosPDC=\frac{{P{D^2}+C{D^2}-P{C^2}}}{2•PD•CD}=-\frac{1}{4}$，
∴$sinPDC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，∴△PCD的面积${S_{△PDC}}=\frac{1}{2}•PD•CD•sinPDC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
设点B到平面PCD的距离为h，由V_P-BCD=V_B-PCD得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，
∴PB平面PCD所成角的正弦值为$\frac{h}{PB}=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}•\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查了线面垂直和平行的判定定理的应用，主要用了中位线和等腰三角形的中线证明线线平行和垂直．