Question

18．在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求三棱锥A-BCF的体积．
（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面FBC，FC⊥平面ABCD，再利用体积公式求解即可；
（2）根据线面平行的判定定理即可证明．

解答 解：（1）在△ABC中，
因为AC=$\sqrt{3}$，AB=2，BC=1，
所以AC⊥BC，∠ABC=60，∠ADC=120°．
在△ADC中，由余弦定理可得DC=1，
又因为AC⊥FB，BC∩FB=B，
所以AC⊥平面FBC．
因为FC?平面FBC，
所以AC⊥FC，
因为CDEF为正方形，
所以DC⊥FC，FC=1，
因为AC∩DC=C，
所以FC⊥平面ABCD，即FC⊥BC，
所以V_A-FBC=$\frac{1}{3}AC•{S}_{△FBC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）M为线段AC的中点，EA∥平面FDM．
连结CE，与DF交于点N，连接MN．
因为CDEF为正方形，所以N为CE中点．
在△ACE中，EA∥MN．                                         
因为MN?平面FDM，EA?平面FDM，
所以 EA∥平面FDM．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，考查体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．