Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$-lnx，函数y=f（|x|）的零点个数为n，则2${\;}^{lo{g}_{n}2}$等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 判断f（|x|）为偶函数，x＞0时，f（x）零点的个数m与函数y=f（|x|）的零点个数为n，有2m=n，利用函数图象交点求解，关键是判断y=$\frac{1}{x-1}$与y=lnx交点的个数．

解答 解：∵函数y=f（|x|）
∴f（|x|）=f（|-x|），f（|x|）为偶函数，
∴x＞0时，f（x）零点的个数m与函数y=f（|x|）的零点个数为n，
有2m=n
∵函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$-lnx，
∴y=$\frac{1}{x-1}$与y=lnx交点的个数与函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$-lnx的零点的个数相等，


从图象可知：y=$\frac{1}{x-1}$与y=lnx交点的个数为m=2，
∴函数y=f（|x|）的零点个数为n=4，
则2${\;}^{lo{g}_{n}2}$=2${\;}^{lo{g}_{4}2}$=2${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了与一颔首图象解决函数零点，问题转化为容易化的函数图象求解，利用函数的对性简化问题，属于中档题，关键是画图象．