Question

14．已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）求不等式2f（x）+g（x）≥0的解集A；
（3）当x∈A时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把函数称问题转化为点的对称：P（x，y）在函数y=g（x）的图象上，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象，y=g（x），得出-y=f（-x），y=-log（1-x），即可求解g（x）的图象．
（2）2log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，利用对数函数的单调性求解即可
（3）分离参数得出：m≤log_a$\frac{1+x}{1-x}$恒成立，转化为求函数y=log_a$\frac{1+x}{1-x}$在[0，1）的值域问题．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），
函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
∴设P（x，y）在函数y=g（x）的图象上，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象，y=g（x）
∴-y=f（-x），y=-log（1-x），
g（x）=-log_a（1-x）
（2）2log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，a＞1，
$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{（1+x）^{2}}{1-x}≥0}\\{-1＜x＜1}\end{array}\right.$，得解集[0，1）
（3）log_a（x+1）-log_a（1-x）≥m恒成立
即m≤log_a$\frac{1+x}{1-x}$恒成立，函数y=log_a$\frac{1+x}{1-x}$在[0，1）上值域[0，+∞）
所以m≤0．

点评 本题考查了对数函数的单调性，不等式，分离参数问题，考查了学生的综合解决问的能力，属于中档题．